<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN">
<HTML xmlns:o = "urn:schemas-microsoft-com:office:office"><HEAD>
<META http-equiv=Content-Type content="text/html; charset=us-ascii">
<META content="MSHTML 6.00.6000.16809" name=GENERATOR></HEAD>
<BODY>
<DIV dir=ltr align=left>
<DIV dir=ltr align=left><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial 
color=#0000ff size=2>Personally, I'd much rather stick to the way this has 
always been understood, either implicitly or explicitly, in 
physics.</FONT></SPAN></DIV>
<DIV dir=ltr align=left><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial 
color=#0000ff size=2></FONT></SPAN>&nbsp;</DIV>
<DIV dir=ltr align=left><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial 
color=#0000ff size=2>Let a measurement {Q} = Q:[Q] <SPAN lang=EN-AU 
style="FONT-SIZE: 12pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-ansi-language: EN-AU; mso-fareast-font-family: 'Times New Roman'; mso-fareast-language: EN-AU; mso-bidi-language: AR-SA"><FONT 
color=#000000><FONT face=Arial color=#0000ff size=2>&#8220;where symbols in braces 
{&nbsp;} represent pure numbers, and symbols in square brackets are units&#8221; 
(Emerson, 2008, p. 134; Allisy, 1980) and</FONT>&nbsp;</FONT><FONT face=Arial 
color=#0000ff size=2>Q is an actual quantity of some kind (e.g. an amount of 
mass, force, electric potential difference, whatever it might 
be).</FONT></SPAN></FONT></SPAN></DIV>
<DIV dir=ltr align=left><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial 
color=#0000ff size=2></FONT></SPAN>&nbsp;</DIV>
<DIV dir=ltr align=left><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial 
color=#0000ff size=2>Now we can re-express the measurement (pure number)&nbsp;as 
{Q'} =&nbsp;{XQ} = Q:[Q'] where [Q'] = [Q]/X .&nbsp;That means the measurement 
{Q'} is simply&nbsp;expressed in a unit that is 1/X&nbsp;<SPAN 
class=033210805-19032009>of </SPAN>the size of the unit [Q].</FONT></SPAN></DIV>
<DIV dir=ltr align=left><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial 
color=#0000ff size=2></FONT></SPAN>&nbsp;</DIV>
<DIV dir=ltr align=left><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial 
color=#0000ff size=2>For example, if [Q] is 1 cm and X is 10 then [Q]/X = cm/10 
= mm. So multiplying a measurement taken in cm by the number 10 means you have 
expressed the measurement in mm. Say the quantity Q is just 1 cm so 
that&nbsp;the measurement of the quanity is {1} = cm:[cm].&nbsp;Multiplying by 
10, we have {1x10} = cm:[cm]/10 = cm:mm = 10.</FONT></SPAN></DIV>
<DIV dir=ltr align=left><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial 
color=#0000ff size=2></FONT></SPAN>&nbsp;</DIV>
<DIV dir=ltr align=left><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial 
color=#0000ff size=2>It does not mean you actually measured the quantity in the 
unit 1 mm, because you don't have that precision when you measure to the nearest 
cm: when it comes to precision, 'changing' units is not 
arbitrary.</FONT></SPAN></DIV>
<DIV dir=ltr align=left><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial 
color=#0000ff size=2></FONT></SPAN>&nbsp;</DIV>
<DIV dir=ltr align=left><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial 
color=#0000ff size=2>As for adding a constant, it means you have changed the 
origin, which is to say you have chosen a scale on which there is a different 
quantity Q whose measurement {Q''} = {XQ} + {A}&nbsp;becomes the pure number 
{0}. That quantity is the "origin". Of course, the origin is usually chosen to 
some extent arbitrarily, although often with a purpose<SPAN 
class=033210805-19032009> or meaningful reference point</SPAN>&nbsp;in 
mind.</FONT></SPAN></DIV>
<DIV dir=ltr align=left><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial 
color=#0000ff size=2></FONT></SPAN>&nbsp;</DIV>
<DIV dir=ltr align=left><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial 
color=#0000ff size=2>Take for exmaple, X{Q}&nbsp;+&nbsp;{A} = Q:[Q']&nbsp;+ 
A:[Q'] where&nbsp;[Q'] is again the new unit and&nbsp;A is another quantity. 
</FONT></SPAN></DIV>
<DIV dir=ltr align=left><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial 
color=#0000ff size=2></FONT></SPAN><SPAN class=627321500-19032009><FONT 
face=Arial color=#0000ff size=2></FONT></SPAN>&nbsp;</DIV>
<DIV dir=ltr align=left><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial 
color=#0000ff size=2>If [Q] is 1&nbsp;Kelvin, X&nbsp;= 1,&nbsp;and A = -273.15 
degrees&nbsp;Kelvin, then&nbsp;<SPAN class=033210805-19032009>{</SPAN>XQ}&nbsp;+ 
{A} is simply a "transformation" of Kelvin to Celsius. After changing the scale 
in this way, the temperature 273.15 Kelvin becomes 0 degrees Celsius; i.e. the 
measure of the temperature 273.15 K in is the pure number {0}<SPAN 
class=033210805-19032009> in Celsius</SPAN>. A unit and origin are both implied 
in this pure number, though<SPAN class=033210805-19032009>: </SPAN>it is a 
short-hand.</FONT></SPAN></DIV>
<DIV dir=ltr align=left><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial 
color=#0000ff size=2></FONT></SPAN>&nbsp;</DIV>
<DIV dir=ltr align=left><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial 
color=#0000ff size=2>X doesn't have to be 1 of course, it could be any number -- 
it's not 1 if you&nbsp;<SPAN class=033210805-19032009>wish to </SPAN>change 
Celsius to Fahrenheit<SPAN class=033210805-19032009>,</SPAN> or vice 
versa.</FONT></SPAN></DIV>
<DIV><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial color=#0000ff 
size=2></FONT></SPAN>&nbsp;</DIV>
<DIV><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial color=#0000ff size=2>To 
your question in terms of the definition of measurement that has always been 
used in physics: measurements on so-called "ratio scales"&nbsp;are more 
fundamental than measurements on so-called "interval scales". 
</FONT></SPAN><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial color=#0000ff 
size=2>If {R} = A:B then {R} - 1 = A:B - B:B which is the ratio of the 
difference A - B to the quantity B. That is, {R} - 1 is a measurement of the 
difference between the quantities&nbsp;in the unit [B]. Multiplying this 
measurement&nbsp;by a constant, we can express the difference in another unit 
also.</FONT></SPAN></DIV>
<DIV><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial color=#0000ff 
size=2></FONT></SPAN>&nbsp;</DIV>
<DIV><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial color=#0000ff size=2>On the 
other hand, our knowing {R} = (A - B):[Q] doesn't mean we know the ratio A:B. We 
therefore don't know A:B multiplied by any number X, either. We can go from a 
"ratio scale" to an "interval scale" but not the other way.</FONT></SPAN></DIV>
<DIV><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial color=#0000ff 
size=2></FONT></SPAN>&nbsp;</DIV>
<DIV><SPAN class=627321500-19032009><FONT face=Arial color=#0000ff 
size=2>Regards,</FONT></SPAN></DIV><SPAN class=627321500-19032009><FONT 
face=Arial color=#0000ff size=2>
<DIV><BR>Steve</DIV>
<DIV>&nbsp;</DIV>
<DIV></FONT></SPAN>
<DIV align=left><FONT face=Arial size=2>Stephen Humphry</FONT></DIV>
<DIV align=left><FONT face=Arial size=2>Associate Professor, </FONT><FONT 
face=Arial size=2>Graduate School of Education</FONT></DIV>
<DIV align=left><FONT face=Arial size=2>The University of Western 
Australia</FONT></DIV>
<DIV align=left><FONT face=Arial size=2>35 Stirling Highway</FONT></DIV>
<DIV align=left><FONT face=Arial size=2>CRAWLEY&nbsp; WA&nbsp; 6009</FONT></DIV>
<DIV align=left><FONT face=Arial size=2>Mailbox M428</FONT></DIV>
<DIV align=left><FONT face=Arial size=2>P: (08) 6488 7008</FONT></DIV>
<DIV align=left><FONT face=Arial size=2>F: (08) 6488 1052</FONT></DIV>
<DIV align=left><FONT face=Arial size=2></FONT>&nbsp;</DIV></DIV></DIV><FONT 
face=Arial color=#0000ff size=2></FONT><FONT face=Arial color=#0000ff 
size=2></FONT><BR>
<DIV class=OutlookMessageHeader lang=en-us dir=ltr align=left>
<HR tabIndex=-1>
<FONT face=Tahoma size=2><B>From:</B> rasch-bounces@acer.edu.au 
[mailto:rasch-bounces@acer.edu.au] <B>On Behalf Of </B>Anthony 
James<BR><B>Sent:</B> Thursday, 19 March 2009 1:15 AM<BR><B>To:</B> 
rasch@acer.edu.au<BR><B>Subject:</B> [Rasch] Permissible 
Transformations<BR></FONT><BR></DIV>
<DIV></DIV>
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 border=0>
  <TBODY>
  <TR>
    <TD vAlign=top>
      <P class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN lang=EN-US 
      style="mso-ansi-language: EN-US"><FONT size=3><FONT 
      face="Times New Roman">Dear folks,<o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN>
      <DIV></DIV>
      <P class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN lang=EN-US 
      style="mso-ansi-language: EN-US"><FONT size=3><FONT 
      face="Times New Roman">It is said that linear transformations in the from 
      of X' = a + bX are permissible for interval scales. What does this mean? 
      If we multiply a set of numbers by a constant and add them with another 
      constant we will get a new different set. What properties does this new 
      set have and how is it related to the first set that makes it a linear 
      transformation?<o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN>
      <DIV></DIV>
      <P class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN lang=EN-US 
      style="mso-ansi-language: EN-US"><FONT size=3><FONT 
      face="Times New Roman">Why isn&#8217;t multiplication permissible? Isn&#8217;t 
      multiplication a linear transformation where the additive component is 
      zero? So it must be a linear transformation? (or probably zero isn&#8217;t 
      allowed to be the multiplicative component). When a scale in linearly 
      transformed the distances between the objects are increased &#8216;a&#8217; times the 
      distances in the first scales. <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN>
      <DIV></DIV>
      <P class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN lang=EN-US 
      style="mso-ansi-language: EN-US"><FONT size=3><FONT 
      face="Times New Roman">I don&#8217;t understand how interval and ratio scales 
      are different in relation to permissible transformations. I&#8217;d be thankful 
      for comments.<o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN>
      <DIV></DIV>
      <P class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN lang=EN-US 
      style="mso-ansi-language: EN-US"><FONT size=3><FONT 
      face="Times New Roman">Cheers<o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN>
      <DIV></DIV>
      <P class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN lang=EN-US 
      style="mso-ansi-language: EN-US"><FONT size=3><FONT 
      face="Times New Roman">Anthony<o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN>
      <DIV></DIV>
      <P class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN lang=EN-US 
      style="mso-ansi-language: EN-US"><o:p><FONT face="Times New Roman" 
      size=3>&nbsp;</FONT></o:p></SPAN>
      <DIV></DIV>
      <P class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN lang=EN-US 
      style="mso-ansi-language: EN-US"><o:p><FONT face="Times New Roman" 
      size=3>&nbsp;</FONT></o:p></SPAN>
      <DIV></DIV>
      <P class=MsoNormal 
      style="MARGIN: 0in 0in 0pt 35.3pt; TEXT-INDENT: -35.3pt"><SPAN lang=EN-US 
      style="mso-ansi-language: EN-US"><o:p><FONT face="Times New Roman" 
      size=3>&nbsp;</FONT></o:p></SPAN>
      <DIV></DIV></TD></TR></TBODY></TABLE><BR></BODY></HTML>